点到直线距离公式的空间推广及应用

摘要：

大家知道,平面内点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|/(√A2+B2),本文将平面内该公式推广到三维空间,得到一个极为类似的点面距离公式.
结论:空间中点P(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/(√A2+B2+C2)
证明:不妨设平面Ax+By+Cz+D=0的一个法向量n=(m,n,p),在该平面内取三个不同点Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,3),则n·→AiAj=0=m(xi,-xj)+n(yi-yj)+p(zi-zj)(i,j=1,2,3,i≠j),则
mxi+nyi+pzi=mxj+nyj+pzj=-q,
则点A i(xi,yi,zi)均在平面mx +ny +pz +q=0上,即以n=(m,n,p)为法向量的某一平面为mx +ny +pz +q=0,故法向量为n1=(A,B,C)的某平面方程可设为Ax+By+Cz+D=0,则d=|→PA1·ni|/|n|=|A(x1-x0)+B(y1-y0)+C(z1-z0)|/(√A2+B2+C2)=|Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1)|/(√A2+B2+C2)

机标关键词：直线、距离公式、三维空间、平面内、法向量、平面方程、中点、证明

分类号：O18;TP3

在线出版日期：2014-01-15（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）

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