2011年全国高中数学联赛一试压轴题的源流

摘要：

原题 作斜率为1/3的直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于点A,B(如图1所示),且点P(3√2,√2)在直线l的左上方.
(1)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;
(2)若∠ APB=60°,求△PAB的面积.
本题根源在于椭圆的一个性质:对于标准方程的椭圆,当椭圆上过点P的切线的斜率与弦AB所在的直线的斜率为相反数时,直线PA与PB的斜率也必为相反数,从而内切圆圆心在过点P垂直于一条坐标轴的直线上.此性质非椭圆独有,而是圆锥曲线的通性,其逆命题也成立.下面试为其进行拓广证明.

机标关键词：高中数学、联赛、试压、直线上、椭圆、相反数、内切圆、证明、圆锥曲线、标准方程、坐标轴、逆命题、切线、面试、面积、个性、垂直

分类号：G633.6(中等教育)

在线出版日期：2012-10-22（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）

页码：47-48