用迭加法求空间被平面分割的区域数
平面内的n条直线可将平面分割成多少个部分，一般都采用数学归纳法或采用比较强的技巧如利用横扫直线等.用数学归纳法需事先知道结论，用横扫直线又不易想到.笔者在思考这个问题时发现利用迭加法可以方便将之解出，还可以推广到平面分割空间的问题.为了叙述方便，笔者将各迭加部分写成命题形式，并记：平面内的任两条互不平行，任三条不共点的直线为一般位置直线；空间内任两面互不平行，任三面不共线且交线互不平行的平面称为一般位置平面.规定：Cnm=0(n>m).
命题1 平面内n条一般位置的直线将平面分成(C0n+C1n+C2n)个部分.
证明 平面内一条直线将平面分成2部分，设n条直线将平面分成an个部分，n-1条直线将平面分成an-1个部分.当添第n条直线时与前n-1条直线都相交，被分割成n条线段(射线)，而每一条线段(射线)将所在的区域分成2部分，故增加了n个区域,即
an=an-1+n,
a1=2,
则
an=(1)/(2)(n2+n+2)=C0n+C1n+C2n.
命题2 平面内λ条直线交于一点分割的平面数，比平面内λ条一般位置的直线分割平面数少C2λ-1个.
证明 平面内λ条直线交于一点分割平面数为2λ个，而由命题1知λ条一般位置的直线分割平面数为(C0λ+C1λ+C2λ)，故减少了(C0λ+C1λ+C2λ)-2λ=(1)/(2)(λ2+λ+2)-2λ=(1)/(2)(λ2-3λ+2)=C2λ-1.
命题3 平面内μ条互相平行的直线比平面内μ条一般位置的直线分割平面所在区域的个数减少C2μ个.
证明 平面内μ条互相平行的直线将平面分成(μ+1)个部分，由命题1知比μ条一般位置的直线分割平面数少(C0μ+C1μ+C2μ)-(μ+1)=C2μ个.
命题4 平面内n条直线有λi(i=1,2,…,k)条直线交于一点，μi(i=1,2,…,m)条直线互相平行(ki=1λi+ni=1μi≤n),可将平面分成(C0n+C1n+C2n-ki=1C2λi-1-miC2μi)个部分.
证明 λi(i=1,2,…,k)条直线交于一点，只对这λi条直线分割平面数产生影响，而与其它直线作组合分割平面时与一般位置的直线相同.μi(i=1,2,…,n)条直线互相平行也是如此.故分割平面数为(C0n+C1n+C2n-ki=1C2λi-1-ni=1C2μi).
将命题推广，求解空间n个平面能将空间分成多少个部分?
命题5 n个一般位置的平面能将空间分割成(C0n+C1n+C2n+C3n)个部分.
证明 一个平面将空间分成两个部分.设n个一般位置的平面将空间分成an个部分.(n-1)个一般位置的平面将空间分成an-1个部分，再添加第n个平面αn与前n-1个平面均相交，交线为平面αn内(n-1)条一般位置的直线.故由命题1知，这(n-1)条一般位置的直线将平面αn分成(C0n-1+C1n-1+C2n-1)个部分而αn被分割的每一部分将所在的空间分成两部分，故增加了(C0n-1+C1n-1+C2n-1)个区域.所以有an=an-1+C0n-1+C1n-1+C2n-1，a1=2,得an=C0n+C1n+C2n+C3n.
命题6 λ个平面交于一线分割平面数比λ个一般平面分割平面数少(C2λ-1+C3λ)个.
证明 λ个平面交于一线分割平面数为2λ，比λ个一般平面分割空间数少(C0λ+C1λ+C2λ+C3λ)-2λ=C2λ-1+C3λ.
命题7 μ个平面互相平行分割平面数比μ个一般平面分割空间数少(C2μ+C3μ)个.
证明 μ个平面互相平行将空间分割成(μ+1)个部分.故比μ个一般平面分割空间数少(C0μ+C1μ+C2μ+C3μ)-(μ+1)=C2μ+C3μ.
命题8 γ个平面相交且互相平行分割空间数比γ个一般位置的平面分割空间数少C3γ个.
证明 作平面α与互相平行交线相交，则平面α与γ个平面的交线分割平面α的区域数即为γ个平面分割空间的区域数.而平面α与γ个平面的交线为γ条一般位置直线，由命题1知分割平面α为(C0γ+C1γ+C2γ)个部分.故分割空间数为(C0γ+C1γ+C2γ)个，比γ个一般平面分割空间数少C3γ个.
命题9 n个平面中共有λi(i=1,2,…,k)个平面相交于一条直线，μi(i=1,2,…,m)个平面互相平行，γi(i=1,2,…,l)个平面相交且交线互相平行，则分割空间数为C0n+C1n+C2n+C3n-ki=1(C2λi-1+C3λi)-ni=1(C2μi+C3μi)-li=1C3γi.
证明 λi(i=1,2,…,k)个平面相交一线，仅对这λi个平面分割空间时产生影响，而与其他平面作组合时分割空间与一般位置平面相同，所以由命题6知比看成一般位置的平面分割空间数减少ki=1(C2λi-1+C3λi)个，同理μi(i=1,2,…,n)个互相平行的平面将减少分割数ni=1(C2μi+C3μi),γi(i=1,2,…,l)个交线互相平行的平面将减少分割数为li=1C3γi，所以这n个平面分割空间数等于n个一般位置的平面分割空间数减去以上3种减少数即可.
故所求的分割数为C0n+C1n+C2n+C3n-ki=1(C2λi-1+C3λi)-ni=1(C2μi+C3μi)-li=1C3γi.
迭加法、空间分割、平面分割、区域、一般位置直线、割平面、平面内、命题形式、不平行、证明、交线、一般位置平面、数学归纳法、行分割、组合、线段、射线、求解空间、命题推广、时分割
G633.6(中等教育)
2007-07-26（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）
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