Heisenberg代数的范畴化和MacMahon函数

摘要：

作为一类基本的无限维李代数结构,Heisenberg代数在场论中扮演了很重要的角色.在经典理论中,它是利用自由谐振子生成的.这样的自由谐振子在表示论中可以看作是升算子和降算子.在范畴论中,它们是范畴之间的函子,满足一些特殊的性质,因此看起来像相对应的代数算子.本文从一维向量空间出发,把Cautis和Licata的方法推广到单个形变Heisenberg代数'HZ[t,t-1]的情况,给出了它的范畴化'(H).在这样的构造中,'(H)为一个2-范畴,它的1-态射构成的集合包含了Heisenberg代数中自由谐振子的范畴化,它的所有2-态射组成了一个分次向量空间.在这个范畴中,2-态射决定了1-态射的同构类,即范畴的Grothendieck环.2-态射上的分次导致了Heisenberg代数的一个形变参数,并且也因此使本文证明了'(H)的Grothendieck环为'Hz[t,t-1].本文同时给出了范畴'(H)的一个Fock表示.从'(H)的Fock表示中可以看到,2-态射上的分次可以由与对称群相关的表示导出范畴中的上同调次数平移来实现.作为Heisenberg代数范畴化的应用,本文还讨论了与三维Young图的MacMahon函数相关的配分函数.这篇文章的结果期望有更进一步的应用.

关键词：Heisenberg代数、MacMahon函数、范畴化、Grothendieck环

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资助基金：国家自然科学基金编号:11031005,11426089,11447146,11401400和北京市教育委员会重点项目编号:KZ201210028032资助

在线出版日期：2017-03-03（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）

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