亚纯函数及其导数分担两个有限集

摘要：

1977年,Gross提出了一个问题[4]:能否找到两个有限集S1, S2,使得对任何满足E(Sj,,)=E(Sj,g)(j=1,2)的两个非常数整函数f(z),g(z),都有f(z)≡g(z)?其中E(S,,)=U{E:f(z)-a=o}.对于这个问题,仪洪勋在1994给出了肯定的答案[5].至于整函数,(z)及导数f(k)(z)分担两个有限集的问题,最近方明亮给出了如下结论[1]:定理设f(z),g(z)是两个非常数整函数,n(≥5)、k是两个正整数,S1={z|zn=1},S2={a,b,c},其中a,b,c是三个互异的非零有限集常数,并且满足a2≠bc,b2≠ac,c2-≠ab.如果E(S1,,)=E(S1,g),E(S2,F(k))=E(S2,g(k)),则有,f(z)≡g(z).本文是讨论亚纯函数f(z)及导数f(k)(z)分担两个有限集的问题,其结果推广了上面定理的结论.本文的定理如下:定理1 设f(z),g(z)是两个非多项式亚纯函数,n(≥6)、k是两个正整数,S1={zn=1},S2={a,b,c},在这里a,b,c是三个互异的非零有限常数,满足a2≠bc,b2≠ac,c2≠ab,如果E(S1,f)=E(S1,g),E(S2,,k))=E(S2,g(k))并且E(∞,,)=E(∞,f,则f(z)≡g(z).定理2 设f(z),g(z)是两个非多项式亚纯函数,n(≥6)、k是两个正整数,S1={zn=1},S2={a,b,c},在这里a,b,c是三个互异的非零有限常数.如果E(S1,,)=E(S1,g),E(S2,,f(k))=E(S2,g(k))并且E(∞,f)=E(∞,g),则下列情况之一必定要出现:(1),(z)≡g(z).(2)tif(z)=tjg(z),i,j=1,2,3,{t1,t2,t3}={a,b,c}且ti2=titl,{i,j,l}={1,2,3};(3)f(z)=emx+d,g(z)=te-mx-d,其中m,d,t是3个常数,满足tn=1,(-1)ktm2k=a2=bc,或者(-1)ktm2k=b2=ac,或者(-1)ktm2k=c2=ab定理3 设f(z),g(z)是两个非多项式亚纯函数,n(≥6)、k是两个正整数,S1={zn=1},S2={a,b,c},在这里a,b是三个互异的非零有限常数.如果E(S1,f)=E(S1,g),E(S2,,f(k))=E(S2,g(k))并且E(∞,f)=E(∞,g),则下列情况之一必定要出现:(1)f(z)≡g(z);(2)f(z)≡-g(z);(3),(z)=emx+d,g(z)=te-mx-d,这里m,d,t是三个常数,且满足(-1)kt,m2k=a2,a=-b;(4)f(z)=emz+d,g(z)=te-mx-d,这里m,d,t是三个常数,且满足tn=1,(-1)ktm2k=a2,并且(-1)ktm2k=ab;定理4 设f(z),g(z)是两个非多项式亚纯函数,n(≥6)、k是两个正整数,S1={zn=1},S2={a},在这里a是三个互异的非零有限常数.如果E(S1,f)=E(S1,g),E(S2,f(k))=E(S2,g(k))并且E(∞,f)=E(∞,g),则下列情况之一必定要出现:(1)f(z)≡g(z);(2)f(z)=emx+d,g(z)=te-mx-d,这里m,d,t是三个常数,且满足tn=1,且(-1)ktm2k=a2;本文定理证明中要用到下列引理: 引理1 设f(z),g(z)是两个亚纯函数,n＞5且非fn-1与gn-1分担0,∞CM,则f(z)≡tg(z),或者,f(z)g(z)≡t,这里tn=1.引理2 设f(z)是-个非常数亚纯函数,a,b是两个有限复数,k是-个正整效,如果f(k)(z)≠a,b,则f(z)是-个多项式.引理3 设f(z)是-个非常数整函数,k(≥2)是一个正整数,如果f(z)f(z(k))≠0,则f(z)=eaz+b,其中a(≠0),b是两个常数.

关键词：整函数、导数、唯一性、有限集

所属期刊栏目：37

分类号：R318.04(医用一般科学)

资助基金：NNSF of China and Educational Department of Jiangsu Province

在线出版日期：2008-05-12（万方平台首次上网日期，不代表论文的发表时间）

页数：共7页

页码：798-804